세상에서 가장쉬운 통계학 입문 요약 (4)
4강 표준편차(1) : 데이터의 특수성과 성질 평가
표준편차를 알면 두가지를 알수 있다. 첫째, ‘한 데이터 세트 중에 어떤 데이터 하나의 수가 갖는 의미'를 알수 있다. 둘째, ‘여러 데이터 세트들을 서로 비교해서 나타나는 차이'를 알수 있다.
한 데이터 세트중에서 어떤 데이터 하나의 수가 갖는 의미
내가 본 시험 결과가 75점으로, 평균점수인 60점보다 15점 높다고하자. 얼마나 기뻐해야할까? 이때 알아야할것이 표준편차가 몇 점인가 이다. 12점이라면 내 점수는 대략 표준편차만큼 더 높은 점수이고 이는 내점수는 평균점수보다 잘한쪽으로 일반적(보통)으로 떨어져 있는 점수이다. 즉 이정도 점수를 받은 사람은 많다는 뜻이기 때문에 아주 기쁘지는 않다. 반대로 표준편차가 8점이라면 평균점수에서 표준편차의 2배정도 멀리떨어져있기 때문에 예외적인 점수이다. 아주 기뻐할수 있다.
이 예를 통해서 알 수 있듯이, 한 데이터 세트 중에 있는 어떤 하나의 데이터가 가진 특수성은 평균에서 떨어진정도(편차) 를 나타내는 수치만으로는 계측할 수 없고, 표준편차를 기준으로 가정해야만 알 수 있다. 그래서 ‘편차를 표준편차로 계산해서 얼마만큼’이라고 나타내는 변환이 중요해지는 것이다 . 즉 이것은 (데이터 — 평균값) / 표준편차 라는 계산을 기준으로 데이터를 평가하는것이다.
데이터 세트 중에 있는 어느 한 데이터의 편차가 표준편차로 계산해서 1배 전후라면 이것은 평범한 데이터라고 할 수 있으며, 2배로 멀리 있는 데이터일 경우는 ‘특수한 데이터'라고 할 수 있다. 특수하다는 말은 데이터가 정규 분포(나중에 나옴)에 가깝다면 평균 1배범위에 약 70%의 데이터가 들어간다고 생각하면 된다. 또 2배보다 멀리 떨어진 데이터는 5%밖에 없다고 생각하면 대략 맞다. 데이터가 편균값보다 큰 쪽으로 2배이상 떨어져 있다면, 그것은 전체의 2.5% 범위 내에 드는 데이터라는것을 의미하기 때문에 ‘특수한 경우'에 있다고 해도 좋을 것이다.
여러 데이터 세트를 비교할 때의 표준편차
X는 10번 모의시험의 평균점수가 60점이고 표준편차가 10점이고, Y는 같은 시험에서 평균점수가 50점이고, 표준편차가 30점이라면 이것으로 무엇을 읽어 낼 수 있을까?
X는 표준편차 1배 정도의 폭, 대략 50–70점 범위의 점수를 맞는 학생이라고 판단할수 있다. Y는 대략 20–80. X는 안정된 점수를 맞는 학생이고 Y는 시험을 볼때마다 점수 차가 큰 학생이라고 할수 있다. 이것으로써 두 사람을 ‘공부를 잘하는 것'만으로 평가할 수 없는 면이 있다는 것을 알 수 있다. X는 50점을 맞으면 들어갈 수 있는 학교에는 학교에는 합격하겠지만, 80점을 맞아야 들어갈 수 있는 학교에는 상당히 들어가기 힘들 것이다. 반면 Y는 40점이라면 들어갈 수 있는 학교에도 떨어질 가능성이 있지만 80점을 맞아야 들어갈 수 있는 학교에도 합격할 수 있다. 이렇게 표준편차를 추가해서 생각하면, X와 Y의 성적은 공부를 잘하는 것이라는 서열적인 평가각 아니라 성질이 다른것으로 평가할 수 있다는 사실을 알 수 있다.
가공된 데이터의 평균값과 표준편차
데이터에 일정한 수를 더하는 가공의 효과 : X데이터의 모둔 수에 일정한 수 a를 더해서 새로운 Y데이터를 만들면, Y데이터의 평균값은 X데이터의 평균값에 a를 더한 것이 되며, Y뎅터의 분산과 표준편차는 원래의 X데이터 수와 같다.
데이터에 일정한 수를 곱하는 가공의 효과 : X데이터의 모든 수에 일정한 수 k를 곱해서 새로운 Y데이터를 만들면, Y데이터의 평균값은 X의 평균값에 k를 곱한 것이 되고, Y데이터의 분산은 k의 제곱배 표준편차는 k배가 된다.
데이터를 {(데이터-평균)/표준편차}로 가공효과 : (-일정한수(평균)을 더하고 일정한수(1/표준편차)를 곱한 가공)이 데이터로 구한 평균값은 0이고, 표준편차는 1이된다.
